Цели и задачи курса

основная цель курса - помочь студентам второго курса в эффективном усвоении основ теоретической механики и приобретении необходимых навыков в решении практических задач. Помимо выработки физического мировоззрения (здесь выводятся основные понятия и методы теоретической физики) студенты имеют возможность закрепить свои знания по дифференциальному и интегральному исчислению, тензорному и векторному анализу, дифференциальным уравнениям.

Содержание курса

Механика системы материальных точек. Основные понятия и законы механики. Материальная точка. Система отсчета. Скорость и ускорение. Инерциальные системы отсчета. Силы в механике. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Принцип суперпозиции сил. Принцип относительности Галилея. Основная задача механики. Законы движения. Классический принцип причинности. Приближение внешнего поля. Законы изменения и сохранения механических величин. Импульс. Закон изменения и сохранения импульса. Момент импульса. Закон изменения и сохранения момента импульса. Кинетическая энергия системы. Закон изменения кинетической энергии. Потенциальная энергия. Полная энергия. Закон изменения и сохранения полной энергии. Законы сохранения для систем, находящихся в потенциальных полях. Связь законов сохранения с пространственно-временной симметрией внешнего поля. Интегралы движения. Динамическая симметрия механических систем. Пример: интеграл Лапласа. Теорема о вириале. Финитное и инфинитное движение. Движение в центральном поле. Эффективная потенциальная энергия частицы. Возможные виды траекторий. Первый закон Кеплера. Задача Кеплера. Траектории частицы в случае потенциала притяжения. Второй и третий законы Кеплера. Траектории частицы в случае потенциала отталкивания. Рассеяние частиц на неподвижном центре. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния. Формула Резерфорда. Теоремы о центре инерции. Задача двух тел. Связи. Голономные и неголономные связи. Число степеней свободы механической системы. Силы реакции связей. Виртуальные перемещения. Идеальные связи. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода. Обобщенные координаты. Конфигурационное пространство. Скорость и кинетическая энергия в обобщенных координатах. Принцип Гамильтона. Функция Лагранжа. Обобщенная сила. Принцип наименьшего действия. Уравнения Лагранжа для потенциальных систем. Примеры. Функция Лагранжа частицы в цилиндрических и сферических координатах. Плоский математический маятник. Уравнения Лагранжа для непотенциальных систем. Свойства уравнений Лагранжа. Обобщенно-потенциальные силы. Движение заряженной частицы в электромагнитном поле. Диссипативные силы. Диссипативная функция Релея. Обобщенный импульс и обобщенная энергия. Законы изменения и сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии. Циклические координаты. Интегралы движения в формализме Лагранжа. Преобразования симметрии. Полные вариации. Теорема Нэтер. Положение устойчивого равновесия механических систем. Колебания систем с одной степенью свободы. Свободные колебания. Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы. Нормальные координаты и нормальные колебания. Состояние механической системы. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Канонические уравнения. Фазовое пространство. Теорема Лиувилля. Интегралы движения в механике Гамильтона. Зависимость интегралов движения от времени для стационарных канонических систем. Обобщенная координата как интеграл движения. Закон сохранения обобщенного импульса. Закон изменения и сохранения функции Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема об интегралах движения. Канонические уравнения в симметричном виде. Свойства скобок Пуассона. Фундаментальные скобки Пуассона. Теорема Пуассона (теорема о третьем интеграле). Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия. Канонические преобразования. Виды канонических преобразований. Преобразование Лежандра. Якобиан канонического преобразования. Инвариантность фазового объема при каноническом преобразовании. Инвариантность скобок Пуассона при канонических преобразованиях. Действие как функция координат и времени. Выражение для обобщенных импульсов через функцию действия. Уравнение Гамильтона-Якоби. Уравнение Гамильтона-Якоби для консервативных систем. Укороченное действие. Теорема Якоби. Способ отыскания законов движения в методе Гамильтона-Якоби. Метод разделения переменных. Движение твердого тела. Угловая скорость. Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции. Момент импульса твердого тела. Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера. Уравнения движения твердого тела в неподвижной системе отсчета. Свободное движение твердого тела. Свободное вращение шарового и симметричного волчка. Движение твердого тела в подвижной системе отсчета. Динамические уравнения Эйлера. Свободное вращение твердого тела вокруг главных осей. Устойчивость свободного вращения. Движение в неинерциальной системе отсчета. Функция Лагранжа и уравнение движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Силы инерции. Энергия частицы в неинерциальной системе отсчета. Механика сплошных сред. Приближение сплошной среды. Плотность и скорость сплошной среды. Полевой характер описания движения сплошных сред. Импульс, момент импульса и кинетическая энергия сплошной среды. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему. Законы движения сплошной среды. Закон сохранения массы. Уравнение непрерывности. Интегральная форма уравнения непрерывности. Закон изменения импульса. Массовые (объемные) и поверхностные силы. Тензор напряжений. Уравнение движения сплошной среды. Изменение момента импульса и симметрия тензора напряжений. Закон изменения кинетической энергии сплошной среды. Закон сохранения полной внутренней энергии сплошной среды. Потоки импульса и энергии. Вектор Умова. Фундаментальная система уравнений сплошной среды. Уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Эйлера. Звуковые волны в жидкости и газе. Интенсивность звука. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости. Ламинарное и турбулентное течения вязкой жидкости. Затухание звуковых волн в вязкой жидкости. Механика деформируемого твердого тела. Тензор деформаций. Закон Гука. Упругие волны в изотропном твердом теле. Продольные и поперечные волны.

Литература

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука.1973. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.:МГУ. 1984. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Мир, 1975. Терлецкий Я.П. Теоретическая механика. М.: Изд.-во ун.-та дружбы народов. 1987 Павленко Ю.Г.. Лекции по теоретической механике. М.: МГУ. 1991. Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Наука. 1974. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат.1953. Федоренко А.М. Классическая механика. Киев: Вища школа. 1983.

К списку