Цели и задачи курса

Цель курса "Теория вероятностей и математическая статистика" - ознакомление студентов с основами теории вероятностей и математической статистики, знание которых необходимо для усвоения материала курсов физики, особенно квантовой механики и статистической физики. Задачей курса является также сообщение студентам элементарных сведений о методах обработки экспериментальных данных и построении физических статистических моделей.

Содержание курса

Предмет курса. Закономерное и случайное события. Вероятность (в широком смысле слова). Типичные задачи теории вероятностей и математической статистики. Основные теоремы о вероятностях. Массовость события. Частота события. Относительная частота события. Статистический и классический подходы к определению вероятности. Исход.Событие как множество исходов. Достоверное, невозможное, противоположное события. Сумма произведения, разность событий. Несовместные события. Равносильные события. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Вероятность суммы событий в общем случае. Вероятность противоположного события. Полная система событий. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Формула Байеса. Независимость событий. Формула полной вероятности. Теорема Байеса. Элементы комбинаторики. Размещения. Перестановки. Сочетания. Статистика Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферма-Дирака. Формула Стирлинга. Связь между статистиками. Схема повторения независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли и ее анализ. Теорема Бернулли. Случайные величины. Определения случайной величины. Распределение случайной величины. Математическое ожидание. Математическое ожидание суммы и производная случайных величин. Дисперсия случайной величины. Среднее уклонение. Среднее квадратичное уклонение. Теорема о дисперсии суммы случайных величин. Закон больших чисел. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева. Непрерывная случайная величина. Функция распределения (плотность вероятности). Соотношения нормировки. Распределение накопленной вероятности. Равномерное распределение. Нормальное распределение (распределение Гаусса). Моменты случайной величины. Производящая функция центральных моментов. Моменты нормального распределения. Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин. Свойства нормального распределения. Центральная предельная теорема. Случайные блуждания. Теория перколяции. Распределение Пуассона. Математическая статистика. Проверка статистических гипотез. Статистическое оценивание неизвестных параметров. Доверительные интервалы. Урновая схема. Генеральная совокупность. Выборка с возвращением и без возвращения. Основная (проверяемая) и конкурирующая (альтернативная) гипотезы. Критическое множество S. S - критерий. Ошибки 1-го и 2-го рода. Уровень значимости. Функция мощности S -критерия. Оптимальный (наиболее мощный) S-критерий. Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Литература

Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука,1982. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука,1980. Худсон Д. Статистика для физиков. М.,Мир,1967. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: Наука,1982.

К списку