Цели и задачи курса

Дисциплина "Методы математической физики" завершает математическое образование по специальности 2106-физика. В нее входят элементы функционального анализа, интегральные уравнения, уравнения математической физики и основы вариационногоисчисления. Студенты должны овладеть основными понятиями и принципами функционального анализа, образующего фундаменты современной математической физики; знать свойства решений интегральных уравнений; уметь провести физическую и математическую классификацию уравнений математической физики; иметь четкое представление о постановке краевых задач, включая понятие о корректности их постановки; изучить способы решения краевых задач математической физики, в особенности метод разделения переменных; овладеть основными понятиями вариационного исчисления. Студенты должны уметь: определять свойства линейных операторов и решать для них задачу на собственные значения, решать интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода, приводить уравнения математической физики к каноническому виду, решать краевые задачи методом Даламбера и методом разделения переменных, решать вариационные задачи для функционалов простейшего вида. Для изучения дисциплины "Методы математической физики" необходимо усвоить дисциплины: "Математический анализ", "Дифференциальные уравнения", "Аналитическая геометрия" и "Высшая алгебра".

Содержание курса

Метрическое пространство. Сходимость последовательности. Множества метрического пространства. Полнота пространства. Нормированное пространство. Гильбертово пространство. Ортогональность векторов. Ортогонализация по Шмидту. Полная ортонормированная система векторов. Теорема о разложении в ряд Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Критерий полноты ортонормированной системы. Теорема об ортогональном разложении. Линейные операторы. Алгебраическая структура. Непрерывные операторы. Ограниченные операторы. Норма операторов. Собственные векторы и собственные значения оператора. Симметричные и вполне непрерывные операторы. Теорема Гилберта. Интегральный оператор Фредгольма. Его свойства. Собственные векторы и собственные значения оператора с вырожденным ядром. Классификация линейных интегральных уравнений. Решение уравнения Фредгольма II-го рода в случае симметричного ядра. Решение уравнения Фредгольма II рода в случае вырожденного ядра. Союзные уравнения. Три теоремы Фредгольма (б/д). Решение уравнения Фредгольма II рода в случаях малых значений параметра. Резольвента оператора Фредгольма и его ядра. Общая характеристика уравнений математической физики. Три основных типа уравнений: колебаний, диффузии и стационарное. Простейшие случаи: волновое уравнение, уравнение теплоп-роводности и уравнение Пуассона. Вывод уравнений колебаний струны и распространения тепла. Математическая классификация уравнений: гиперболический, параболический и эллиптический тип уравнений. Приведение уравнения к каноническому виду в случае постоянных коэффи-циентов. Приведение уравнения к каноническому виду в случае двух независимых переменных. Постановка краевых задач. Физический смысл начальных и граничных условий. Три типа краевых задач: задача Коши, краевая задача в узком смысле слова и смешанная задача. Коррект-ность постановки краевых задач. Метод Даламбера (бегущих волн), решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Краевая задача на собственные значения. Обобщение формул Грина. Свойства дифференциального оператора, его собственных векторов и собственных значений. Метод Фурье (разделения переменных). Его применение для решения краевой задачи на собственные значения. Метод Фурье (разделения переменных) для решения смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов. Задача Штурма-Лиувилля. Функция Грина краевой задачи. Сведение краевой задачи на собственные значения к решению задачи на собственные значения для оператора Фредгольма. Постановка задач вариационного исчисления. Функционал и его свойства. Дифференцируемые функционалы. Вариация функционала. Док-во дифференцируемости функционала простейшего типа. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. Основная демма вариационного исчисления. Задача с неподвижными концами. Уравнение Эйлера. Уравнения Эйлера-Остроградского (б/д). Задача с подвижными концами. Общее выражение для вариации функционала. Задача на условный экстремум. Основы вычислительной математики. Основные этапы решения физических задач на ЭВМ. Источники погрешностей и способы их минимизации. Интерполирование. Интерполяционный полином Лагранжа. Конечные разности. Разностные отношения. Интерполяционные формулы Ньютона и Ньютона-Стирлинга. Практические применения интерполяционных формул. Численные методы линейной алгебры. Метод Гаусса. Выбор ведущих элементов. Метод оптимального исключения. Вычисление детерминанта и обратной матрицы. Алгебраические задачи на собственные значения. Метод вращений. Сходимость метода вращений. Численное решение нелинейных уравнений. Метод бисекций. Метод простой итерации. Метод скорения сходимости посредством преобразования уравнения. Метод касательных Ньютона и его модификация (метод секущих). Обобщение метода Ньютона на системы уравнений. Численное интегрирование. Метод Ньютона и его простейшие варианты (трапеций и парабол). Интегрирование на конечных промежутках. Численные методы для ОДУ. Задача Коши. Метод Эйлера и его уточнение. Методы Рунге-Кутта. Краевая задача. Метод прогонки. Методы сплайн-интерполяции. Кубические сплайны. Применение сплайнов.

Темы практических занятий

Задача на собственные значения длядифференциального оператора (одномерный случай). Метод разделения переменных. Случай двух переменных. Область - прямоугольник. Задача для кольца. Задача для параллелепипеда и цилиндра. Задача для шара. Задача на собственные значения для оператора Фрадгольма. Решение интегрального уравнения с симметричным ядром. Решение для вырожденного ядра. Решение при малых значениях параметра. Приведение уравнений к каноническому виду. Метод Даламбера. Решение смешанной задачи с однородными условиями для волнового уравнения. Решение для уравнения теплопроводности. Обобщение на случай неоднородных условий для волнового уравнения. Обобщение для уравнения теплопроводности. Решение краевой задачи для стационарного уравнения методом Фурье.

Литература

Шилов Г.Е. Математический анализ. Спецкурс. М., 1961г. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.,1971. Сборник задач по уравнениям мат.физики (под ред.В.С.Владимирова). Крылов В.И. и др. Вычислительные методы. Т.1-2, М.,1976.

К списку