г. Екатеринбург, ул. Куйбышева 48а, к. 505
+7(343)269-44-31

Прогресс состоит не в замене неверной теории на верную, а в замене одной неверной теории на другую неверную, но уточненную.

Стивен Уильям Хокинг
 
 


Случайное фото






Цели и задачи курса

Курс "Дифференциальные уравнения" является одним из важнейших курсов в общей системе математического образования. Для студентов физического факультета он имеет особое значение, так как в ряде разделов физики (теоретическая механика, электродинамика, квантовая механика и т.д.) физические законы записываются в виде дифференциальных уравнений. Данный курс имеет цель ознакомить студентов с общими методами исследования дифференциальных уравнений и методами их решений. Большое внимание уделено исследованию и методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков, имеющих важные практические приложения. Излагаются также основы теории дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка и вариационное исчисление.


Содержание курса

Общие понятия от обыкновенных дифференциальных уравнениях (ОДУ). Основные определения. Классификация ОДУ. ОДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной. Основные понятия и определения. Задача Коши. Общее, частное и особое решения. Интегральная кривая. Решения ОДУ 1-го порядка методом разделения переменных. Однородные уравнения. Линейные ОДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Интегрирующий множитель. ОДУ в полных дифференциалах. ОДУ 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. Основные понятия и определения. Единственность решения. Классификация уравнений. Общий метод введения параметров для решения ОДУ 1-го порядка, не разрешенных относительно произ-водной. Уравнение Лагранжа. Уравнение Клеро. Существование и единственность решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка. Понятие о метрических пространствах. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство. Теорема о неподвижной точке. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка разрешенного относи-тельно производной. Метод последовательных приближений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка, не разрешенного относительно производной. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий. ОДУ n-го порядка. Основные понятия и определения. Задача Коши. Общее, частное и особое решения. Классификация ОДУ n-го порядка и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Ли-нейный дифференциальный оператор и его свойства. Линейные однородные ОДУ n-го порядка. Определеитель Вронского. Фундаментальная система решений. Теорема от общем решении линейного однородного ОДУ n-го порядка. Линейные неоднородные ОДУ n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Подстановка Эйлера. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений для линейного однородного ОДУ n-го порядка. Нахождение частного решения линейного неоднородного ОДУ n-го порядка методом неопределенных коэффициентов. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка. Основные понятия и определения. Задача Коши. Общее, частное и особое решения. Связь ОДУ n-го порядка с системой n дифференциальных уравнений 1-го порядка. Общая теория линейных однородных систем дифференциальных уравнений 1-го порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Теорема об общем решении системы ДУ 1-го порядка. Неоднородные линейные системы ДУ 1-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Однородная линейная система с постоянными коэффициентами. Подстановка Эйлера. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений для однородной линейной системы ДУ 1-го порядка. Однородные линейные уравнения 2-го порядка. Общая теория однородных линейных уравнений 2-го порядка. Свойства их решений. Теорема о колебательном характере решений. Теорема Штурма. Теорема сравнения. Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра. Формула Родриго. Решение однородных линейных ДУ 2-го порядка при помощи обобщенных степенных рядов. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. Понятие о сферических функциях Бесселя, полиномах Эрмита, Лагерра. Дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка. Основные понятия и определения. Теоремы о связи решений ДУ в частных производных с соответствующей системой ОДУ 1-го порядка. Общее решение. Задача Коши. Вариационное исчисление. Понятие о функционалах. Основные понятия и определения. Вариационная производная. Теорема об экстремальном значении функционала. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера для простейших функционалов. Задача о брахистохроне. Условный экстремум функционалов.


Темы практических занятий

Составление дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод полного дифференциала. Метод введения параметров. Элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Понижение порядка уравнений. Однородные линейные уравнения. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные линейные системы. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.


Литература

К лекциям:Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., 1965 г. Матвеев А.В. Дифференциальные уравнения, Минск, 1967 г. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М., 1953 г. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1961 г. Тихонов А.А. и др. Дифференциальные уравнения, М.,1985. К семинарам:Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.,1979. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление (задачи и упражнения). М., 1973.


К списку